O QUE E FRAÇÃO

Fração (ou fracção, em português de Portugal) é um modo de expressar uma quantidade a partir de um valor que é dividido por um determinado número de partes iguais entre si. A palavra vem do latim "fractus" e significa "partido", "quebrado" (do verbo "frangere": "quebrar").
======================================…
No antigo Egito, por volta do ano 3000 a.C., o faraó Sesóstris distribuiu algumas terras às margens do rio Nilo para alguns agricultores privilegiados. O privilégio em possuir essas terras era porque todo ano, no mês de julho, as águas do rio inundavam essa região ao longo de suas margens e fertilizava os campos. Essas terras, portanto, eram bastante valorizadas.

Porém, era necessário remarcar os terrenos de cada agricultor em setembro, quando as águas baixavam. Os responsáveis por essa marcação eram os agrimensores, que também eram chamados de estiradores de corda, pois mediam os terrenos com cordas nas quais uma unidade de medida estava marcada.

Essas cordas eram esticadas e se verificava quantas vezes a tal unidade de medida cabia no terreno, mas é só parar para pensar um pouquinho para descobrir que nem sempre essa medida cabia inteira nos lados do terreno.

Esse problema só foi resolvido quando os egípcios criaram um novo número: o número fracionário. Ele era representado com o uso de frações, porém os egípcios só entendiam a fração como uma unidade (ou seja, frações cujo numerador é igual a 1).

Eles escreviam essas frações com uma espécie de sinal oval escrito em cima do denominador. Mas os cálculos eram complicados, pois no sistema de numeração que usavam no Egito nessa época os símbolos se repetiam muitas vezes.

Só ficou mais fácil trabalhar com as frações quando os hindus criaram o Sistema de Numeração Decimal, quando elas passaram a ser representadas pela razão de dois números naturais.

Desde então, as frações foram usadas para a resolução de diversos tipos de problemas matemáticos. Uma das formas mais correntes de se trabalhar com frações é a porcentagem, em que se expressa uma proporção ou uma relação a partir de uma fração cujo denominador é 100. O uso de frações também é de valia extrema para a resolução de problemas que envolvem regra de três.

Vamos resumir os passos para a medição:

1. A escolha da unidade artificial com a qual se vai contar a quantidade. Essa unidade: tem de ser da mesma natureza da quantidade que se quer medir; assim comprimento se mede com comprimento, peso com peso, força com força, etc;

A escolha não pode ser individual; tem de ser combinada com todas as pessoas; trata-se, portanto, de uma escolha social;

apesar de ser uma escolha social, a unidade artificial é uma quantidade qualquer;

uma vez escolhida, a unidade passa a ser chamada de unidade padrão;

2. Compara-se a unidade padrão com a quantidade que se quer contar, verificando-se quantas vezes aquela aparece nesta;

3. Caso ocorram sobras, a unidade padrão é dividida em subunidades (menores) que são comparadas com a sobra. Esse processo se dá até encontrarmos uma subunidade que corresponda à sobra;

4. Registra-se, por fim, o número obtido com a medição.

Muitos séculos depois, os matemáticos deram o nome de fração a esse novo número e passaram a representá-lo de modo diferente:

Fração é uma parte de um todo. Representa-se um número fracionário colocando-se em cima ou do lado esquerdo da barra quantas partes foram tomadas e em baixo ou do lado direito da barra em quantas partes foi dividido o inteiro. Ex: 1/2 - 1 parte de algo que foi dividido em dois

fração é uma parte de um todo, posso te dar um exemplo:
quando chegamos em casa cansados ou simplesmente estamos com fome, pedimos pizza.
Em quase todas as vezes ela vem dividida em 8 pedaços.
Dai vc esta c/ fome e come 3 pedaços dela.
Entaõ vc comeu resumidamente 3/8 da pizza, q é o mesmo q vc dizer q comeu 3 pedaços.
Outro exemplo:
vc vai ao supermercado e compra um pacote de biscoitos com 10 unidades.
quando chega em casa abre o pacote e come 5 biscoitos dos 10 q haviam no pacote.
você comeu 5/10 biscoitos

O que é fração equivalente?

Frações Equivalentes: São as que representam a mesma parte do inteiro. Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração sucessivamente pelos números naturais, teremos um conjunto infinito de frações que constitui um conjunto que é conhecido como a classe de equivalência da fração dada.

1/2
1/2
1/2
2/4
1/4 1/4
1/4 1/4
3/6
1/6 1/6 1/6
1/6 1/6 1/6
4/8
1/8 1/8 1/8 1/8
1/8 1/8 1/8 1/8

Propriedades fundamentais
(1) Se multiplicarmos os termos (numerador e denominador) de uma fração por um mesmo número natural, obteremos uma fração equivalente à fração dada:

1
--------------------------------------…
2 = 1×2
--------------------------------------…
2×2 = 2
--------------------------------------…
4

(2) Se é possível dividir os termos (numerador e denominador) de uma fração por um mesmo número natural, obteremos uma fração equivalente à fração dada:

12
--------------------------------------…
16 = 12÷2
--------------------------------------…
16÷2 = 6
--------------------------------------…
8 = 6÷2
--------------------------------------…
8÷2 = 3
--------------------------------------…
4

A fração como uma classe de equivalência
A classe de equivalência de uma fração é o conjunto de todas as frações equivalentes à fração dada. Ao invés de trabalhar com todos os elementos deste conjunto infinito, simplesmente poderemos tomar a fração mais simples deste conjunto que será a representante desta classe. Esta fração será denominada um número racional. Aplicando a propriedade fundamental, podemos escrever o conjunto das frações equivalentes a 1/3, como:

C(1/3) = { 1/3, 2/6, 3/9, 4/12, 5/15, 6/18, ... }

é uma fração que significa a mesma coisa que a outra
1/2 e 2/4 são equivalentes, pois e os dois termos de 2/4 forem divididos pelo maior número possivel (2) que seja divisivel pelos dois termos, o resultado será 1/2
1/3, 2/6 e 3/9 são equivalentes
1/4, 2/8 e 4/12 tambem

Frações equivalentes

Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.

Exemplo: 2/4, 3/6, 4/8 são equivalentes a fração 1/2.

Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.
Simplificação de frações:
Uma fração equivalente a 9/12, com termos menores, é 3/4. A fração 3/4 foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração pelo fator comum 3. Dizemos que a fração é uma fração simplificada de 9/12

.Experiência
Tanto faz usarmos 2/6,1/3,4/12, para dizer o que comemos de uma barra de chocolate. Essas frações são equivalentes e, portanto, representam o mesmo resultado. Se você não estiver convencido, pegue um cartão com formato retangular, igual ao de uma barra de chocolate, e faça a experiência, usando as frações que foram sugeridas. No mesmo retângulo, pinte uma cor diferente para cada fração citada no exemplo. Você perceberá rapidamente a equivalência.

Frações diferentes que expressam quantidades iguais

Dizemos que uma fração é uma parte de um inteiro que pode ser representada geometricamente ou numericamente. Podemos dividir o inteiro em diversas partes, as quais representarão quantidades diferentes e outras que representarão uma mesma quantidade. No caso de frações diferentes que representam a mesma quantidade, damos o nome de frações equivalentes. A única condição para que existam frações equivalentes é que elas pertençam ao mesmo inteiro. Observe o retângulo a seguir, ele representa o inteiro:

Ao dividirmos ao meio, isto é, em duas partes, e destacarmos 1 parte, teremos a seguinte fração:

Dividindo o mesmo inteiro em 4 partes e destacando 2, teremos a seguinte fração:

Caso o inteiro seja dividido em 16 partes iguais e destacamos 8, a fração

representará numericamente a seguinte parte geométrica:

As frações apresentadas são equivalentes, todas possuem representação numérica diferente, mas expressam quantidades iguais. Nesse caso, elas estão representando sempre a metade do inteiro. Observe as frações na forma geométrica e numérica:

Para indicarmos quando duas ou mais frações são equivalentes, utilizamos o símbolo ~ ou o símbolo da igualdade +.

Para identificarmos se duas ou mais frações são equivalentes, basta aplicarmos os princípios de simplificação conhecidos, isto é, dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número, reduzindo a fração à forma irredutível. Se as formas irredutíveis forem idênticas, dizemos que as frações são equivalentes. Veja exemplos:

Verifique que as frações ao serem reduzidas à forma irredutível se tornaram idênticas, portanto, elas são equivalentes.

Por Marcos Noé
Graduado em Matemática

Frações equivalentes

Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.

Exemplo:

são equivalentes

Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.

Exemplo: obter frações equivalentes à fração

Portanto as frações

são algumas das frações equivalentes a

Simplificação de frações

Uma fração equivalente a

, com termos menores, é

. A fração

foi obtida dividindo-se ambos os termos da fração

pelo fator comum 3. Dizemos que a fração

é uma fração simplificada de

A fração

não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. A fração

não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum

Fração equivalente

Frações que representam o mesmo resultado

Antonio Rodrigues Neto*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

Quase sempre, aprendemos o conceito de fração equivalente cortando uma pizza em vários pedaços. Independente de você gostar ou não de pizza, dividi-la em quatro partes e comer dois dos seus pedaços é a mesma coisa que dividi-la em oito partes e devorar quatro pedaços. Pode parecer diferente, mas a quantidade de pizza é a mesma.

Experiência

Tanto faz usarmos

para dizer o que comemos de uma barra de chocolate. Essas frações são equivalentes e, portanto, representam o mesmo resultado. Se você não estiver convencido, pegue um cartão com formato retangular, igual ao de uma barra de chocolate, e faça a experiência, usando as frações que foram sugeridas. No mesmo retângulo, pinte uma cor diferente para cada fração citada no exemplo. Você perceberá rapidamente a equivalência.

Utilidade da fração equivalente

Agora, talvez a pergunta mais importante seja: para que serve a fração equivalente?

Vamos imaginar que uma pesquisa de opinião, sobre determinada marca de sabonete, está sendo feita em uma cidade. Dentre os habitantes, um total de 2.500 pessoas foram entrevistadas. Três marcas de sabonete são apresentadas a essas pessoas. Terminada a pesquisa, 500 escolheram a marca A, 600 a marca B e 1.200 optaram pela C. O restante não gosta de nenhuma das três. O resultado dessa pesquisa pode ser registrado por meio de frações, já que as opções feitas podem ser entendidas como pedaços em relação a um todo de 2.500 pessoas.

Vejamos, de acordo com esse exemplo, como as frações representam uma boa ferramenta de análise e comparação: ao registrarmos as frações

não podemos deixar de pensar que, para escrevê-las ou pronunciá-las, seria mais fácil se pudéssemos simplificá-las. A equivalência é um recurso que ajuda a realizar essa simplificação.

Regra

Utilizando a experiência do retângulo que representa a barra de chocolate com as frações equivalentes

observamos que há uma regra para esse tipo de fração.

Multiplicando ou dividindo, simultaneamente, o numerador e o denominador por um mesmo número, alteramos o valor numérico dos dois indicadores da fração, mas sem alterar a equivalência. Assim, podemos continuar indefinidamente a nossa seqüência da barra chocolate com

Para registrar e falar é mais interessante diminuir os valores numéricos dos numeradores e dos denominadores. As frações simplificadas ocupam menos espaço, gastam menos grafite ou tinta e tornam mais clara a visualização do problema. Com esse objetivo em mente, devemos sempre dividir em vez de multiplicar.

Na prática

Voltando à pesquisa de opinião sobre sabonetes, o registro para o produto A ficará mais simples fazendo

Essa simplificação poderia ser feita em várias etapas. Em vez de dividirmos por 500, poderíamos começar pelo 2, depois usaríamos o 5, e assim sucessivamente, em várias etapas, até chegar no mesmo resultado de

.

No entanto, quanto maior o número escolhido - um número que consiga dividir simultaneamente o numerador e o denominador -, mais rápida será a simplificação.

Assim, as frações mais simples, que representam as opções da população pelos produtos B e C, poderão ser calculadas em uma única etapa. Para o produto B obtemos

. E para o C fazemos

.

Esses são procedimentos importantes na resolução de problemas, mesmo para os que não gostam de matemática. E por falar dos que não gostam, é bom registrar que, na nossa pesquisa,

dos habitantes não gostam de nenhum dos três produtos.

*Antonio Rodrigues Neto é professor de matemática no ensino fundamental e superior. É mestre em educação pela Faculdade de Educação da USP com a dissertação "Geometria e Estética: experiências com o jogo de xadrez".

As frações são representações das partes de um todo. Tanto na matemática, quanto na vida, quando falamos de equivalência, estamos falando de igualdade entre dois objetos, dois elementos.

As frações equivalentes são frações escritas de maneiras diferentes, entretanto representando a mesma parte de um todo, ou seja, são frações iguais, porém representadas de maneiras distintas.

Veja a seguinte situação.

“Pedrinho comprou uma barra de chocolate, então seu amigo Lucas pediu para que ele a dividisse ao meio e cada um comeria ½ da barra de chocolate. Pedrinho respondeu que iria dividir o chocolate em quatro partes e cada um comeria 2 pedaços. Então Lucas concordou, dizendo que eles comeriam a mesma quantidade de chocolate.”

Lucas estava certo ao afirmar que eles comeriam o mesmo tanto de chocolate? Pois a proposta inicial de Lucas era dividir o chocolate meio a meio.
Só existe uma maneira de explicar isso, usando frações equivalentes.

Façamos a representação da divisão proposta por Lucas.

Veja que a quantidade de chocolate é a mesma, mudou apenas a forma de repartir o chocolate.

Mas fazer representações iguais a essa sempre que fosse preciso encontrar frações equivalentes se tornaria algo cansativo e desnecessário, pois existe um modo menos trabalhoso de encontrar frações equivalentes, utilizando apenas a operação da multiplicação.

Veja que o método para encontrar a fração equivalente não determina que número seja este, fica à sua escolha qual número usar. A única restrição é: o número pelo qual o numerador for multiplicado, deverá também ser multiplicado pelo denominador. Vejamos no caso do Pedrinho.

A fração original era 1/2.

Encontramos a fração 2/4 equivalente a ela. Note que o numerador e o denominador foram multiplicados por dois.

Vamos multiplicar o numerador e o denominador por três:

Veja que você pode obter diversas frações equivalentes à fração 1/2, basta ir testando a multiplicação com números diferentes.

O que é equação?

Em matemática, uma equação é uma igualdade envolvendo expressões matemáticas. As equações normalmente propõem um problema sobre sua validade. Grosseiramente falando, uma equação é composta por incógnitas e coeficientes. Os coeficientes são entidadades matemáticas conhecidadas. Resolver a equação, ou seja, ou problema por ela proposto consiste em determinar quem são os elementos de um determinado conjunto (o das possíveis soluções) que tornam a equação verdadeira.

As entidades matemáticas envolvidas na equação podem números reais, números inteiros, conjuntos, funções entre outros.

Exemplos
Seja uma função real, a equação possui como soluções os zeros de (por definição).
Equações polinomiais de uma variável são equações desta forma , onde é um polinômio em
Equações pode ter por incógnita uma função, por exemplo:
Determinar as possíveis funções contínuas tais que:

ou ainda:

equações diferenciais possuem uma função como incógnita e envolvem derivadas:

Equivalentemente, equações integrais possuem como incógnita uma função e envolvem integrais:

Fonte(s):

http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%…

e a tentativa de se descobrir um valor icognito através de um igualdade, ou seja, voce sabe que "x+2=9" a icognita da equação é o "x", se voce sabe que ele somado a 2 resulta em 9 pode-se descobrir o seu resultado escrevendo a igualdade de outro modo "x=9-2" aí ficou moleza pois vc sabe que "9-2=7", então o tal do "x" (a icógnita) é na verdade o 7. Embora seja um explicação simples todas as equações e até as mais complexas partem deste princípio.

Quero todos os resultados de raizes quadradas.?

De 1 = 1

De 4 = 2
De 9 = 3
De 16 = 4
De 25 = 5
De 36 = 6
De 49 = 7
De 64 = 8
De 81 = 9
De 100 = 10
De 121 = 11
De 144 = 12
De 169 = 13
De 196 = 14
De 225 = 15
De 256 = 16
De 289 = 17
De 324 = 18
De 361 = 19
De 400 = 20
De 441 = 21
De 484 = 22
De 529 = 23
De 576 = 24
De 625 = 25
De 676 = 26
De 729 = 27
De 784 = 28
De 841 = 29
De 900 = 30

A raiz quadrada de um número é uma importante operação matemática, assim como a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão. Somente alguns números possuem raiz quadrada, são aqueles considerados quadrados perfeitos. Os números considerados quadrados perfeitos recebem este nome por serem resultados de multiplicações de números iguais. Observe:

1 x 1 = 1
2 x 2 = 4
3 x 3 = 9
4 x 4 = 16
5 x 5 = 25
6 x 6 = 36
7 x 7 = 49
8 x 8 = 64
9 x 9 = 81
10 x 10 = 100
11 x 11 = 121
12 x 12 = 144
13 x 13 = 169

14 x 14 = 196
15 x 15 = 225
16 x 16 = 256
17 x 17 = 289
18 x 18 = 324
19 x 19 = 361
20 x 20 = 400
21 x 21 = 441
22 x 22 = 484
23 x 23 = 529
24 x 24 = 576
25 x 25 = 625
..... ..... .....

Observe que os quadrados perfeitos são infinitos.

A raiz quadrada exata de um quadrado perfeito é o número que multiplicado por ele mesmo, resulta no número da raiz. Veja:

√4 = 2, pois 2 x 2 = 4

√36 = 6, pois 6 x 6 = 36

√81 = 9, pois 9 x 9 = 81

√121 = 11, pois 11 x 11 = 121

√169 = 13, pois 13 x 13 = 169

√324 = 18, pois 18 x 18 = 324

O que é divisão? Quais são as partes da divisão? Que nome se dá a cada número?

A divisão é uma inversão da multiplicação.

Maria corta o pão em fatias para o jantar. Ela calcula: "Somos cinco - eu, meu marido e meus três filhos; seis fatias para cada um é o suficiente. 6 x 5 = 30 fatias".

Na mesa, cada um faz o pensamento inverso ao da mãe: "Uma, duas, três ... são trinta fatias; somos cinco; trinta fatias divididas para cinco pessoas... quer dizer que cada um poderá comer seis fatias".

A sentença matemática que expressa o corte do pão é: 6 x 5 = 30
Na mesa ocorre a inversão: as 30 fatias são divididas (:) entre 5 pessoas resultando ( = ) 6 para cada um.

O verbo dividir em matemática é representado pelo sinal : (lê-se dividido por) e o resultado (o quociente) pelo sinal = (lê-se igual). Temos assim a sentença matemática:

30 : 5 = 6

O Dividendo é o que ta dividindo
O Divisor é o que vai dividir pelo dividendo
O Quociente é o resultado desse divisão
O resto é o que sobra

Divisão é a repartição de um número, ou valor em tantas partes quanto desejadas pela pessoa que vai fazer o cáculo.

Ex: Dividir R$ 1.000,00 em quantidades iguais para três pessoas.

R$ 1.000,00 : 3 = R$ 333,33 para cada um e sobra R$ 0,01

R$ 1.000,00 é o dividendo;

3 é o divisor;

R$ 333,33 é o quociente;

R$ 0,01 é o resto.

Amore,não sou muito fã dessa disciplina matemática e tbm não a domino muito bem e por isso eu acabei achando um site,para poder me ajudar nessa tão problemática matéria que é um terror para a maioria de nós alunos vou deixando aí pra vc,espere que vc tire um bom proveito...
Lá vc vai tirar todas as suas dúvidas...

http://www.somatematica.com.br/

As propriedades da divisão são herdadas, via inversão, da multiplicação. Não existe, entretanto, a propriedade de fechamento no conjunto dos números reais, uma vez que a divisão por zero não produz como resultado um número real.

Nos números inteiros[editar]

Os números inteiros não formam um corpo, portanto a divisão (como foi definido) só faz sentido quando o número que vai ser dividido (dividendo1 ) é um múltiplo inteiro do número pelo qual se vai dividir (divisor1 ). Para tratar dos casos em que o dividendo não é um múltiplo do divisor é necessário definir quociente e resto.

Se a e b são dois números inteiros positivos (com $b \ge a$ ), o quociente1 da divisão de a por b é o maior número inteiro q tal que $aq \le b.$ O resto1 da divisão de a por b com quociente q é o número inteiro r tal que $r = a - bq.$

A noção de resto no anel dos números inteiros está intimamente conectada com a noção de congruência.

Nos números racionais, reais e em outros corpos[editar]

Por se tratarem de corpos, a divisão nesse caso fica reduzida a multiplicação pelo inverso.

Por um exemplo, para dividirmos um número racional $q_1 = \frac{a}{b}$ por $q_2 =\frac{c}{d}$ (com as hipóteses de que a,b,c e d sejam inteiros e que b,c e d sejam diferentes de zero) devemos prosseguir da seguinte forma

$\frac{q_1}{q_2} = q_1 \ q_2^{-1} = \frac{a}{b} \ \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$

Em $\mathbb{Z}_{13}$ (grupo multiplicativo dos inteiros módulo 13), que também é um corpo, a divisão de 7 por 5 se daria da seguinte forma:

$\frac{7}{5} = 7 . 5^{-1} = 7 . 8 = 4$

Divisão de polinômios[editar]

Pode-se definir a operação de divisão para polinômios. Então, como no caso dos inteiros, tem-se um resto2 . Veja divisão polinomial.

Em estruturas mais gerais[editar]

A divisão é possível em estruturas que não são dotadas dos axiomas de corpo. Em analogia ao caso dos números inteiros, tenta-se encontrar um quociente e um resto. Isso nem sempre pode ser feito com o auxílio da relação de ordem, pois a mesma nem sempre está presente. Quando pode-se definir uma função conveniente, trabalhamos com domínios euclidianos.

Representação[editar]

Existem algumas formas de se representar uma divisão:

Como uma fração: $\frac{a}{b},$ desde que o denominador seja diferente de 0.
Com uma barra: ${}^a\!{/}\!{}_b$
Com o sinal de divisão: $a\div b$
Usando dois pontos: $a:b$
Usando o sinal de inverso: $ab^{-1}$

Notas e referências

↑ a b c d Essa nomenclatura é utilizada por Vianna (1914), p. 39
↑ Serrasqueiro (1906), p. 35-37

Referências[editar]

Vianna, João José Luiz. Elementos de Arithmetica. 15 ed. Rio de Janeiro: Francisco Alves, 1914.
Serrasqueiro, José Adelino. Tratado de Algebra Elementar. 9 ed. Largo da Sé Velha: Livraria Central de J. Diogo Pires, 1906.

Divisão

O inverso da multiplicação

Roberto Perides Moisés e Luciano Castro Lima*
Especial para a Página 3 Pedagogia & Comunicação

A mãe da família pensou o contrário: 30 fatias foram cortadas para que cada pessoa podesse comer 6.

Partes da divisão

O número que representa o total que vai ser dividido (ou repartido igualmente) chama-se dividendo;
O número que representa a quantidade de partes em que o total vai ser repartido chama-se divisor;
E o seu resultado é chamado de quociente.

Quando usar a divisão?

Veja em que situações você pode usar essa operação. Você precisa saber isso para resolver os probleminhas de matemática:

Repartição igualitária:
Quatro agricultores formaram uma pequena cooperativa, conseguindo arrecadar R$ 2.540,00 na colheita de milho. Quanto cada um vai receber?

Esse é um problema típico de divisão: ao dividir 2.540 reais para 4 pessoas, pensa-se sempre em quantias iguais para cada um dos agricultores. A divisão é uma inversão: ela desmancha a operação multiplicação.

Queremos saber qual parte cada um deve receber para que ao juntar as 4 partes (multiplicarmos por 4), obtenha-se o total arrecadado pela venda da colheita (2540).

Essa pergunta é resolvida pela divisão 2540 : 4 = ?

Previsão:
Um remédio é vendido em cartelas com 48 comprimidos. O médico receitou a José 3 comprimidos ao dia. Quantos dias de tratamento José conseguirá comprando 1 só cartela?

Novamente, queremos saber quantas vezes (quantos dias) ele pode tomar 3 comprimidos até completar os 48 comprimidos de uma cartela.

Esta pergunta é resolvida através de uma divisão 48 : 3 = ?

Como calcular a divisão

Veja como resolver operações de divisão. Para isso, imagine que você tenha um ábaco, em que você tenha representado o número 642, e queira dividi-lo em outros dois ábacos. O papel vai anotando o que você faz no ábaco.
Resolver 642 : 2.

.

Experimente o raciocínio para resolver também a adição e a subtração.

*Roberto P. Moisés é mestre em educação matemática (USP) e prof. do Col. Santa Cruz e das Universidades Sumaré e São Judas.Luciano Castro Lima é coordenador de matemática do Ceteac - Centro de estudos e trabalho em educação e cultura.

História da matemática

A história da matemática é uma área de estudo dedicada à investigação sobre a origem das descobertas da matemática e, em uma menor extensão, à investigação dos métodos matemáticos e aos registros ou notações matemáticas do passado.

Anteriormente à modernidade e à expansão mundial do conhecimento, os exemplos escritos de novos progressos matemáticos tornaram-se conhecidos em apenas poucas localidades. Os textos matemáticos mais arcaicos disponíveis que nos são conhecidos são o Plimpton 322 (matemática babilônica, cerca de 1900 a.C.)1 , o Papiro Matemático de Rhind (matemática egípcia, cerca de 2000-1800 a.C.)2 e o Papiro Matemático de Moscou (matemática egípcia, cerca de 1890 a.C.). Todos estes textos versam sobre o então chamado Teorema de Pitágoras, que parece ser o progresso matemático mais amplamente difundido depois da aritméticabásica e da geometria.

A contribuição greco-helênica refinou grandiosamente os métodos (especialmente através da introdução do raciocínio dedutivo e do rigor matemático em provas) e expandiu o tema da matemática, isto é, aquilo de que ela trata3 . O estudo da matemática como um tópico em si mesmo começa no século VI a.C. com ospitagóricos, os quais cunharam o termo "matemática" a partir do termo μάθημα (mathema) do grego antigo, significando, então, "tema do esclarecimento"4 . A matemática chinesa fez contribuições já muito cedo, incluindo o sistema de notação posicional5 6 . O sistema númerico indo-arábico e as regras para o uso de suas operações, atualmente em uso no mundo todo, foi provavelmente desenvolvido em torno do ano 1000 d.C. na Índia e transmitido ao Ocidente através da matemática islâmica7 8 . A matemática islâmica, por sua vez, desenvolveu e expandiu a matemática conhecida destas civilizações9 . Muitos textos gregos e árabes sobre matemática foram então traduzidos ao latim, o que contribuiu com o desenvolvimento da matemática na Europa medieval.

Dos tempos antigos à Idade Média, a eclosão da criatividade matemática foi frequentemente seguida por séculos de estagnação. Começando no Renascimento, noséculo XVI, novos progressos da matemática, interagindo com as novas descobertas científicas, foram realizados de forma crescente, continuando assim até os dias de hoje.

Multiplicação

Em matemática, a multiplicação é uma operação binária. Na sua forma mais simples a multiplicação é uma forma simples de se adicionar uma quantidade finita de números iguais. O resultado da multiplicação de dois números é chamado produto. Os números sendo multiplicados são chamados de coeficientes ou operandos, e individualmente de multiplicando e multiplicador1 .

$x \cdot y = \begin{matrix} \underbrace{y+y+\cdots+y}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix}$

(lê-se "x vezes y" ou "y adicionado x vezes")

Assim, por exemplo,

$3 \times 4 = 4 + 4 + 4 = 12,\!\,$

Há controvérsias entre os educadores, sobre que número deveria normalmente ser considerado como o número de termos e qual o valor de cada termo.

Pode também ser uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de reta dados determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois iniciais (veja aqui).

Comutatividade: A ordem dos fatores não altera o resultado da operação. Assim, se x . y = z, logo y . x = z.
Associatividade: O agrupamento dos fatores não altera o resultado.(Podemos juntar de dois em dois de modo que facilite o cálculo). Assim, se (x . y) . z = w, logo x . (y . z) = w.
Distributividade: Um fator colocado em evidência numa soma dará como produto a soma do produto daquele fator com os demais fatores. Assim, x . (y + z) = (x . y) + (x . z).
Elemento neutro: O fator 1 (um) não altera o resultado dos demais fatores. O um é chamado "Elemento neutro" da multiplicação. Assim, se x . y = z, logo x . y . 1 = z.(obs:o 0 é o da soma.)
Elemento opositor: O fator -1 (menos um) transforma o produto em seu simétrico. Assim, -1 . x = -x e -1 . y = -y, para y diferente de x.
Fechamento: O produto de dois números reais será sempre um número real.
Anulação: O fator 0 (zero) anula o produto. Assim, x . 0 = 0, e y . 0 = 0, com x diferente de y.

Na matemática, podemos dizer que a multiplicação é a mais simples formar de agruparmos uma quantidade finita de números.Ao efetuarmos uma multiplicação, chegamos a uma resposta que é chamada de PRODUTO. Na geometria , está relacionada também como uma operação geométrica - a partir de dois segmentos de retas dados, podemos determinar um outro cujo comprimento seja igual ao produto dos dois inciais.

Comutatividade da multiplicação de números naturais:

$x\cdot y = \begin{matrix} \underbrace{y+y+y+\cdots+y}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix}$

$x\cdot y = \begin{matrix} \underbrace{y+y+y+\cdots+y}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix} +x -x$

$= x + \begin{matrix} \underbrace{(y-1)+(y-1)+\cdots+(y-1)}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix}$

$= x + x + \begin{matrix} \underbrace{(y-2)+(y-2)+\cdots+(y-2)}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix}$

$= \begin{matrix} \underbrace{x+x+x+\cdots+x}\\{n}\\[-4ex] \end{matrix} + \begin{matrix} \underbrace{(y-n)+(y-n)+\cdots+(y-n)}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix}$

$= \begin{matrix} \underbrace{x+x+x+\cdots+x}\\{y}\\[-4ex] \end{matrix}$

$= y\cdot x$

Distributividade da multiplicação de números naturais:

$x\cdot (y+z) = \begin{matrix} \underbrace{(y+z)+(y+z)+\cdots+(y+z)}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix}$

$= \begin{matrix} \underbrace{y+y+y+\cdots+y}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix} + \begin{matrix} \underbrace{z+z+z+\cdots+z}\\{x}\\[-4ex] \end{matrix}$

$= x\cdot y + x\cdot z$

Notação[editar]

A multiplicação pode ser escrita de várias formas equivalentes. Todas as formas abaixo significam, "5 vezes 2":

$5\times 2$

$5\cdot2$

$(5)2,\ 5(2),\ (5)(2),\ 5[2],\ [5]2,\ [5][2]$

$5*2\$

O asterisco é usado frequentemente em computação pois em um símbolo existente em todos os tipos de teclado, mas não é usado quando escrevendo-se matemática à mão (A origem desta notação vem da linguagem de programação FORTRAN.) Frequentemente a multiplicação esta implícita na notação. Isto é o padrão em Álgebra, onde se usa formas como:

$5x$ e $xy$ .

O potencial de confusão que isto cria é grande, já que não podemos ter variáveis com mais de um letra.

É possível se multiplicar um ou mais termos de uma vez. Se os termos não são escritos explicitamente, então o produto pode ser escrito com reticências ... para marcar os termos que estão subentendidos, como em outras operações em série na soma.

Desta forma, o produto de todos os números naturais de 1 a 100 pode ser escrito como $1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot 99 \cdot 100$ . Isto também pode ser escrito com as elipses (três pontinhos) no meio da linha e não embaixo, como $1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot 99 \cdot 100$ .

De forma alternativa, como na adição o produto pode ser escrito usando-se um símbolo de produto, chamado produtório Π que é a letra Pi no alfabeto grego. Isto é definido como:

$\prod_{i=m}^{n} x_{i} := x_{m} \cdot x_{m+1} \cdot x_{m+2} \cdot \cdots \cdot x_{n-1} \cdot x_{n}.$

O subscrito é uma variável muda ( $i$ no nosso caso), o limite inferior é ( $m$ ) e o limite superior é $n$ .

Assim por exemplo:

$\prod_{i=2}^{6} \left(1 + {1\over i}\right) = \left(1 + {1\over 2}\right) \cdot \left(1 + {1\over 3}\right) \cdot \left(1 + {1\over 4}\right) \cdot \left(1 + {1\over 5}\right) \cdot \left(1 + {1\over 6}\right) = {7\over 2}.$

Podemos também considerar um produto com um número infinito de termos; este é chamados de produto infinito. Apenas como notação, basta substituir n acima por infinity o símbolo para (∞). Matematicamente, o produtório é definido para séries infinitas como o limite do produto dos $n$ primeiros termos, quando $n$ cresce sem limite. Isto é:

$\prod_{i=m}^{\infty} x_{i} := \lim_{n\to\infty} \prod_{i=m}^{n} x_{i}.$

Podemos de forma semelhante substituir $m$ por infinito negativo, e

$\prod_{i=-\infty}^\infty x_i := \left(\lim_{n\to\infty}\prod_{i=-n}^m x_i\right) \cdot \left(\lim_{n\to\infty}\prod_{i=m+1}^n x_i\right),$

para algum inteiro $m$ , desde que o limite exista.

Divisão

Divisão é a operação matemática inversa da multiplicação. O ato de dividir por um elemento de um conjunto só faz sentido quando a multiplicação por aquele elemento for uma função bijetora.

No anel dos números inteiros a hipótese da bijetividade não é satisfeita para o zero, assim, não se define divisão por zero.